Persamaan Trigonometri

Oke sob, dalam matematika banyak sekali persamaan- persamaan, salah satunya adalah persamaan trigonometri. Persamaan trigonometri memuat fungsi trigonometri dari sudut yang belum diketahui. Dalam pelajaran trigonometri terdapat tiga persamaan trigonometri sederhana.

Persamaan trigonometri sederhana adalah persamaan yang mengandung perbandingan trigonometri. Menyelesaikan persamaan trigonometri ini dengan cara mencari seluruh nilai x, yang memenuhi persaman tersebut. Persamaan trigonometri sederhana terdiri dari persamaan sinus, cosinus dan tangen. Pembahasan materi persamaan trigonometri sederhana dibatasi pada rentang 0° sampai dengan 360° atau 0 sampai dengan 2π. Rumus untuk menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana seperti berikut:

Persaman trigonometri berbentuk a cos x + b sin x = c dapat diselesaikan dengan mengubah terlebih dahulu bentuk persamaan menjadi bentuk: k cos (x-a)=c dengan $k=\sqrt{a^2+b^2}$ dengan $tan\alpha =\frac{b}{a}$ sehingga:

a cos x + b sin x = k cos (x-a)=c

Mari kita lihat contoh soal:

1. Himpunan penyelesaian dari persamaan:

$2sinx-\sqrt{3}=0; 0\leq x\leq 2\pi$ adalah...

Jawab:

$2sinx-\sqrt{3}=0$

$2sinx=\sqrt{3}$

$sin x=\frac{1}{2}\sqrt{3}$

$sin x=sin\frac{1}{3 }\pi$

$x_{1}=\frac{1}{3}\pi +k 2\pi atau x_{2}=(\pi -\frac{1}{3}\pi )+k 2\pi$

Untuk k = 0 maka

$x_{1}=\frac{1}{3}\pi$

$x_{2}=\frac{2}{3}\pi$

Jadi himpunan penyelesaian $({\frac{1}{3}\pi ,\frac{2}{3}\pi} )$

2. Diketahui persamaan trigonometri $2sin^{2}x+5sinx-3=0$ dan $-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}$ maka nilai x yang memenuhi adalah...

Jawab:

Misalkan: sin x = y dan $-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}$ (Kuadran 1 dan Kuadran IV)

Sehigga diperoleh

$2y^2+5y-3=0$

(2y-1)(y+3)=0

y = 1/2 atau y =-3

Ingat! y = sin x

sin x = 1/2 atau sin x=-3 (tidak ada nilai x yang memenuhi)

sin x = sin 30

$x_{1}= a+k.360^{\circ}$ atau $x_{2}= (180^{\circ}-a)+k.360^{\circ}$

Maka nilai x yang memenuhi adalah $30^{\circ}$

Nah sekarang kita lanjut persamaan kedua yaitu cos

Contoh soal:

1. Himpunan penyelesaian dari persamaan $2cos(2x-60^{\circ})-\sqrt{3}=0$ dengan a $0^{\circ}\leq x\leq 360^{\circ}$ dalah...

Jawab:

$2cos(2x-60^{\circ})-\sqrt{3}=0$

$2cos(2x-60^{\circ})=\sqrt{3}$

$cos(2x-60^{\circ})=\frac{1}{2}\sqrt{3}$

$cos(2x-60^{\circ})=cos30^{\circ}$

$x=60^{\circ}\pm 30^{\circ}+k.360$

$x_{1}= 45^{\circ}+k.180$ atau $x_{2}= 15^{\circ}+k.180$

Untuk k= 0

x1 = 45° dan x2 =15°

Untuk k =1

x1 = 225° dan x2 =195°

Maka Himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah (15°,45°,195°,225°)

Persamaan yang ketiga adalah persamaan tangen (tan)

Contoh soal:

1. Himpunan penyelesaian dari $tan(x-45^{\circ})=cot90^{\circ}$ untuk $0^{\circ}\leq x\leq 360^{\circ}$ adalah

Jawab:

tan (x-45°)=cot 90° (cot 90°= $\frac{1}{3}\sqrt{3}$ )

tan (x-45°)= $\frac{1}{3}\sqrt{3}$

tan (x-45°)=tan 30°

maka

x-45° = 30° + k. 180°

x = 75° + k.180°

Untuk k = 0

x = 75°

Untuk k =1

x =75° + 180°=255°

untuk k = 2

x = 75° +360° = 435° (tidak memenuhi)

sehingga himpunan penyelesaiannya adalah { 75°, 255°}

Demikian postingan kita kali ini mudah- mudahan bermanfaat terima kasih

MATEMATIKA

Search This Blog

Persamaan Trigonometri

Comments

Post a Comment