Proyeksi Vektor Pada Vektor Lain

Pada postingan sebelumnya kita telah membahas sudut antara dua vektor. Kamu mungkin udah gak asing lagi mendengar kata proyeksi kan, Apa itu proyeksi? Proyeksi adalah bayangan vektor pada vektor lain.

Nah sekarang kita bahas proyeksi vektor pada vektor lain.

Diberikan dua buah vektor a dan b, Vektor a diproyeksikan pada vektor b, seperti gambar dibawah ini:

Proyeksi vektor a pada b

Maka berlaku:

1. Proyeksi Skalar Orthogonal

Panjang proyeksi vektor a pada vektor b adalah panjang vektor c. maka panjang vektor c adalah

Bukti:

Pada gambar Proyeksi vektor a pada b di atas. Berdasarkan perbandingan trigonometri: samping (sa) = |c| dan miring= |a| 

cos θ = sa/mi

cos θ = |c|/|a|

|c| = |a|cos θ

Sudut antara dua vektor 

(Terbukti)

2. Proyeksi Vektor Orthogonal

Proyeksi vektor a pada vektor b adalah menghasilkan vektor c. Maka nilai vektor c merupakan perkalian antara proyeksi skalar a pada b dengan panjang vektor b.

Secara matematis dapat kita tulis 

c ⃗=|c ⃗ |.arah c ⃗

Maka Proyeksi vektor Orthogonal a pada b adalah

Maka dalam proyeksi vektor yang perlu kita ingat kembali adalah

a. Perkalian dua vektor

b. Panjang vektor

Biar makin paham kita coba mengerjakan contoh soal 

1. Diketahui vektor u = (7,-4,1) dan v = (-2,-1,0) maka proyeksi vector orthogonal u pada v adalah...

Jawab:

Proyeksi vektor u pada v menghasilkan vektor p adalah

Maka proyeksi vektor orthogonal u pada v adalah (4,2,0)

2. Jika vektor a = –3i – j + xk dan vektor b = 3i – 2j + 6k. Jika panjang proyeksi vektor a pada b adalah 5, maka nilai x yang memenuhi adalah...

Jawab:

u = (-3,-1,x)

v = (3,-2,6)

|c| = 5

Ingat proyeksi skalar ( panjang proyeksi) a pada b adalah c

|c| = a. b/|b|

Maka nilai x yang memenuhi adalah 7

3. Diketahui segitiga ABC dengan titik A(2, –1, – 3), B(–1, 1, –11), dan C(4, –3, –2). Proyeksi vektor AB pada AC  adalah …

Jawab:

Misal 

Vektor AB = u

Vektor AC = v

u = B - A = (-1,1,-11) - (2, -1, -3) =(-3, 2, -8)

v = C - A = (4, -3, -2) -(2, -1, -3)= (2, -2, 1)

Jadi Proyeksi vektor AB pada AC adalah (-4, 4, -2)

3. Pembagi Dua Vektor

Suatu titik P pembagi ruas garis AB dengan perbandingan m : n. sehingga AP : PB = m : n. Sehingga vektor p sebagai pembagi AB dengan demikian dapat kita tulis

Jika vektor OA di wakili vektor a

vektor OB diwakili oleh vektor b

vektor OP di wakili oleh vektor p

seperti gambar di bawah ini:

Maka berlaku:

AP : PB = m : n maka n AP = m PB ( Ingat AP = p - a dan PB = b - p)

n (p - a) = m ( b -p) maka np - na = mb - mp

np + mp =na + mb 

p (m +n) = na + mb

sehingga nilai p sebagai vektor pembagi vektor AB adalah

Contoh soal:

1. Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(2, –3, 4), B(5, 0, 1), dan C(4, 2, 5). Titik P membagi AB sehingga AP : AB = 2 : 3. Panjang vektor PC adalah …

Jawab:

Kita cari dulu nilai vektor p

AP : AB = 2 : 3 maka AP : PB = 2 : 1

     Vektor PC = c - p = (4, 2, 5) - (4,-1,2)

     Vektor PC = (0, 3, 3)

     Panjang PC =√0+9+9 = √18 = 3√2

       Jadi panjang vektor PC adalah 3√2

Latihan Soal Pembagi  dua vektor dan proyeksi vektor pada vektor lain:

https://forms.gle/R4YCaa2AZLfARV3w6

Oke sob sekian pembahasan kita mengenai proyeksi vektor pada vektor lain. Mudah- mudahan postingan ini bermanfaat terima kasih