Integral Luas Daerah dan Volume Benda Putar

Kamu tidak asing lagikan dengan istilah integral, dan bagaimana penyelesaian soal integral. Pada postingan kali ini kita membahas tentang kegunaan integral dalam kehidupan. Kegunaan integral adalah menentukan luas daerah dan Volume benda putar.

A. Menentukan Luas Daerah

Luas daerah yang dimaksud adalah luas daerah di bawah kurva. Adapun langkah menghitung luas daerah di bawah kurva adalah sebagai berikut.

1. Batas daerah yang akan diintegralkan harus jelas. Adapun batas daerah yang dimaksud adalah batas kiri dan kanannya serta batas atas dan bawahnya. Bentuk batas daerah bisa berupa fungsi atau konstanta, fungsi linier dan nonlinier (kuadrat, pangkat 3, akar pangkat).

2. Harus mampu menggambar daerah di dalam kurva sesuai dengan batas-batas yang telah ditentukan (jika gambar masih dinyatakan dalam batas-batasnya saja). Oleh karena itu, diperlukan kemampuan untuk menggambar dengan baik.

3. juga harus bisa menempatkan rumus yang tepat untuk menghitung luas daerah berdasarkan ketentuan yang telah ada. Jangan lupa untuk memperhatikan gambar daerah dan rumus yang bersesuaian. Kamu jangan khawatir ya, setiap daerah memiliki rumus fungsinya masing-masing, contohnya berikut ini.

1. Bentuk daerah satu

2. Bentuk daerah satu

3. Trik Cepat Menentukan Luas Daerah

Rumus ini berlaku pada daerah-daerah yang memiliki kondisi berikut.

a. Memiliki dua batas fungsi, yaitu fungsi kuadrat dan fungsi kuadrat.

b. Memiliki dua batas fungsi, yaitu fungsi kuadrat dan fungsi linear.

Kita coba mengerjakan contoh soal:

1. Perhatikan gambar dibawah ini!

luas daerah yang dibatasi kurva $y=x^2-3x-4$ garis x = 2, x = 0 dan sumbu x adalah

Jawab:

$=\int_{0}^{2}2x^2-3x-4 dx =\left [\frac{2}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2-4x\binom{0}{2}\right ] =\left ( \frac{2}{3}(2)^3-\frac{3}{2}(2^2)-4(2) \right )-\left ( \frac{2}{3}(0)^3-\frac{3}{2}(0)^2+4(0) \right ) =\frac{2}{3}(8)-\frac{3}{2}(4)-8=8\frac{2}{3}$

maka luas daerah yang diarsil adalah $8\frac{2}{3}$

2. Perhatikan gambar berikut

Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh $y=x^2 -3x$ dan y = 3- x adalah

Jawab:

Cara I

1. Cari batas luas dengan mencari titik potong kedua grafik tersebut dengan cara substitusi

$x^2-3x=3-x$

$x^2-2x-3=0$

(x-3)(x+1)

x= 3 atau x = -1

Luas daerah yang dibatasi

$\int_{-1}^{3}(3-x)-(x^2-3x)dx$

$\int_{-1}^{3}3+2x-x^2 dx$

$\left ( 3x+x^2-\frac{1}{3}x^3 \right )\binom{3}{-1}=(3(3)+3^2 -\frac{1}{3}(3))-(3(-1)+(-1)^2 -\frac{1}{3}(-1))$

$=10\frac{2}{3}$

maka luas daerah yang diarsil adalah $=10\frac{2}{3}$

Cara II

$x^2-2x-3=0$ , $D=b^2-4ac$

a = 1, b =-2, c = -3

$L=\frac{D\sqrt{D}}{6a^2}$

$D=(-2^2)-4(1)(-3)=16$

$L=\frac{16\sqrt{16}}{6(1^2)}=\frac{16x4}{6}=\frac{32}{3}$

Maka luas daerah yang diarsil adalah 32/3 Satuan Luas

A. Menentukan Volume Benda Putar

1. Daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi y =f(x), daris x= a, x = b dan sumbu X diputar sejauh 360 mengelilingi sumbu X mempunyai volume yang dihitung dengan menggunakan rumus berikut.

$V=\pi \int_{a}^{b}y^2 dx$