LOGIKA MATEMATIKA

A.    PERNYATAAN DAN KALIMAT TERBUKA

1.      Pernyataan

Pernyataan atau kalimat tertutup adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai benar saja atau nilai salah saja. Tidak sekaligus bernilai benar dan salah

Contoh:

p: 2 adalah bilangan genap

q: 2 dan 3 adalah faktor prima dari 24

2.      Nilai kebenaran suatu pernyataan

Nilai kebenaran suatu pernyataan biasa berupa nilai benar atau nilai salah. Dalam menentukan nilai kebenaran dapat digunakan dengan du acara:

a.       Cara empiris adalah cara menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan berdasarkan fakta pada saat itu.

b.      Cara non empiris adalah cara menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan berdasarkan bukti- bukti atau perhitungan dalam matemtika ( kebenarannya bersifat mutlak)

3.      Ingkaran ( Negasi)

Negasi (Ingkaran) dari suatu pernyataan adalah memalingkan pernyataan awal menjadi pernyataan baru yang memiliki nilai kebenaran berlawanan dengan pernyataan awal. Ingkaran (Negasi) dari pernyataan p dinotasikan dengan p.

Tabel kebenaran pernyataan p dan ingkarannya p adalah

P	P
B S	S B

4.      Kalimat Terbuka

Kalimat terbuka adalah suatu kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah) karena masih mengandung variabel. Suatu kalimat terbuka dengan variabel x dilambangkan dengan p(x).

B.     PERNYATAAN BERKUANTOR

Kuantor adalah pengukur kuantitas atau jumlah. Sehingga pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang memuat ukuran kuantitas atau jumlah seperti kata semua, seluruh, setiap, ada, beberapa dan sebagainya. Kuantor dibagi menjadi dua bagian:

a.       Kuantor universal dinotasikan dengan ,

Contoh: semua, untuk setiap, untuk tiap- tiap, seluruh

b.      Kuantor Eksistensial dinotasikan dengan ,

Contoh: ada, beberapa, terdapat, atau sekurang- kurangnya satu.

            Ingkaran pernyataan berkuantor

a.       Ingkaran dari pernyataan berkuantor “ semua” adalah “beberapa/ ada/ terdapat”.

b.      Ingkaran dari pernyataan berkuantor “beberapa” adalah “semua”

Table ingkaran berkuantor:

            Contoh Soal:

1.      Kalimat berikut ini merupakan pernyataan, kecuali

a.       Banyaknya titik sudut suatu segitiga adalah 3

b.      Matahari terbit dari sebelah Barat

c.       Satu minggu terdiri dari 7 hari

d.      Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil

e.       Jumlah dari tiga buah bilangan yang sama adalah 15

Jawab:

-          Banyak titik sudut pada segitiga adalah 3 merupakan pernyataan yang bernilai benar, sebab suatu segitiga memiliki 3 buah titik sudut.

-          Matahari terbit sebelah Barat merupakan pernyataan bernilai salah, sebab faktanya matahari terbit dari sebelah Timur.

-          Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil merupakan pernyataan yang bernilai salah, sebab ada bilangan prima yang merupakan bilangan genap

-          Jumlah dari tiga buah bilangan yang sama adalah 15 bukan pernyataan sebab belum tentu dapat ditentukan nilai kebenarannya
Jawaban: E

2.      Dibawah ini yang bukan pernyataan adalah

a.       Jakarta ibukota Republik Indonesia

b.      Ada bilangan prima yang genap

c.       Semua bilangan prima ganjil

d.      Harga dolar naik semua orang pusing

e.       Ada segitiga yang jumlah sudutnya tidak 180

Jawab:

-          Jakarta ibukota Republik Indonesia merupakan pernyataan yang bernilai benar

-          Ada bilangan prima yang genap merupakan pernyataan yang bernilai benar. Sebab 2 bilangan prima genap

-          Semua bilangan prima ganjil merupakan pernyataan yang bernilai salah sebab 2 juga bilangan prima

-          Harga dolar naik semua orang pusing bukan merupakan pernyataan karena belum dapat ditentukan nilai kebenarannya.

-          Ada segitiga yang jumlah sudutnya tidak 180  merupakan pernyataan yang bernilai salah. Karena jumlah sudut pada segitiga semuanya 180  
Jawaban: D

C.    PERNYATAAN MAJEMUK, EKUIVALEN DAN NEGASINYA

Pernyataan majemuk adalah gabungan dari beberapa pernyataan tunggal dengan menggunakan kata penghubung logika seperti: dan, atau, jika... maka…, … jika dan hanya jika…, meskipun, tetapi.

Dalam matematika dikenal beberapa pernyataan majemuk yaitu konjungsi, disjungsi,implikasi dan biimplikasi. Dapat kita lihat pada tabel dibawah ini:

Kata hubung logika	Simbol	Istilah Pernyataan
… dan ….	^	Konjungsi
… atau …	v	Disjungsi
Jika… maka…		Implikasi
… jika dan hanya jika…		Biimplikasi

Tabel Kebenaran pernyataan majemuk

Pernyataan		Konjungsi “… dan…”	Disjungsi “… atau…”	Implikasi “Jika… maka…”	Biimplikasi “… jhj…”
p	q		p v q
B	B	B	B	B	B
B	S	S	B	S	S
S	B	S	B	B	S
S	S	S	S	B	B